Qu’est-ce qu’un « problème de Fermi  » ?

• le pdf du premier « problème de Fermi »  est ici

Le jet d’eau de Genève par Prof. Andreas Mueller

1        Quelle est la hauteur que le jet d’eau peut atteindre?

Le jet d’eau de Genève est un des plus hauts du monde, sa hauteur est/étant limitée essentiellement par sa localisation spectaculaire quasiment en pleine ville. Nous allons estimer cette hauteur à partir des données dans la fiche touristique du jet d’eau
(cf. [2] et Tab. 1).
Pour cela, le raisonnement est présenté par une série de questions (avec les réponses données séparément). Cela laisse aux personnes intéressées la possibilité d’y réfléchir elles-mêmes (et d’utiliser ces questions comme exercice pour l’enseignement, si désiré).

a) L’idée principale est la conservation d’énergie. Le but étant une réponse approximative, voire une estimation ; que va-t-on négliger ?
Comment écrire la conservation d’énergie dans une équation pour ce cas là ?

b) Justifiez le résultat h = ½ v²/g

c) Pour continuer, il faut exprimer v en unités S I ; quelle valeur obtenez-vous ?

d) Et finalement, avec les valeurs données quelle valeur obtenez-vous pour h ?
Comment votre résultat se compare-t-il avec la valeur « officielle », et comment interprétez-vous cette comparaison? (Essayez de répondre à cette question d’une façon quantitative).

2        Solution

a) Pour un traitement approximatif on néglige le frottement de l’eau dans l’air.
Alors l’énergie potentielle d’une masse d’eau au point culminant égale son énergie cinétique à la sortie au sol, et on peut écrire mgh = ½ mv²

b) Dans l’équation précédente, on résout pour h et on obtient l’expression
en question (h = ½ v²/g).

c) v =56 m/s

d) h = ½ v²/g ≈ 5.6²m²s^-2 /2·10 ms^-2 ≈ 160 m/s.

Cela est quelque 15% plus grand que le résultat « officiel ». La direction sens de l’erreur est le bon, parce qu’on a négligé le frottement (donc surestimation), et la valeur de 15% est tout à fait acceptable, vu la simplicité du modèle utilisé.

3        Commentaires

a) En général, la conservation de l’énergie pour les fluides est exprimée dans l’équation de Bernoulli.

b) Du point de vue didactique, l’exercice a les caractéristiques suivantes

– application du contenu enseigné à la vie quotidienne

– utilisation et justification des approximations comme partie essentielle du travail
scientifique

– entrainement pour du savoir-faire basique / de base (lecture des tables, conversion
des unités).

– Si on veut, on peut «ouvrir» l’exercice vers une investigation plus indépendante en ne donnant pas les valeurs (c’est-à-dire ni Tab. 1 ni la source [1]), mais en posant juste la question « Quelle est la hauteur que le jet d’eau peut atteindre? » et en faisant de la recherche des valeurs nécessaires une partie de la tâche.

Sources